Sistem Bilangan Real

SISTEM BILANGAN REAL

Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan dan sifat sifatnya,berikut adalah sekema bilangan

Sebarang bilangan rasional dan bilangan irasional dapat di tulis sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal bilangan rasional dapat mempunyai ahir atau akan berulang dalam duar ulang yang tetap selamanya,sedangkan pernyataan desimal bilangan irasional tidak berulang menurut suatu daur .

Penyusunan sistem bilangan real,mendasri sistem bilangan sebagai berikut : untuk x, y, dan z bilangan real .

1.     Sifat komunitatis. x + y = y + x dan xy  = yx

2.     Sifat asosiatis. x+(y+z) = (y+x)+z dan x(yz) = (xy)z

3.     Sifat distributif. x(y+z) = xy+xz

4.     Elemen identitas .Terdapat dua bilanagn real yang            bernilaian,0 dan 1,yang memenui x+0 = x dan x . 1= x

5. Balikan (invers). Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan (negative) –x, yang memenuhi x + -x = 0 . juga setiap setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian x^-1 . yang memenuhi x .x^-1 = 1.

Bilangan bilangan real tak nol dapat di pisahkan menjadi dua himpunan terpisah, yaitu Bilangan real positif dan Bilangan real negatif sehingga  mempunyai sifat sifat urutan yaitu : Untuk x , y dan z bilangan real

1.     Trikotomi.  Jika x dan y adalah bagian bagian, maka pasti satu di antaramyang berlaku :  x < y atau x = y atau x > y

2.     Ketransitatifan.  X < y dan y < z =>  x  < z

3.     Penambahan.  x < y ó x + z  < y + z

4.     Perkalian.  Bilamana z positif, x < y ó xz < yz, Bilamana z negatif. x < y ó xz > yz.

Bilangan Rasional dan Irasional keduanya dapat sepanjang garis real, sehinga setiap bilangan mempunyai tangga rasional dan irasional yang cukup dekat dngannya . Salah satu manifestasi dari sifat kepadatan tersebut adalah sebrang bilangan irasional dapat di hampiri (=) oleh suatu bilangan rasional sedekat yang di sukai .